HPP_Graphics_1.2.3 MVP矩阵运算

a). 简介

MVP矩阵分别是模型(Model)、观察(View)、投影(Projection)三个矩阵。我们的顶点坐标起始于局部空间(Local Space),在这里它称为局部坐标(Local Coordinate),它在之后会变为世界坐标(World Coordinate),观察坐标(View Coordinate),裁剪坐标(Clip Coordinate),并最后以屏幕坐标(Screen Coordinate)的形式结束。下面的这张图展示了整个流程以及各个变换过程做了什么：

b). M: 模型空间→世界空间

• 变换顺序

  1. 缩放
  2. 旋转
  3. 平移
  $$\mathbf{M_{model}}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & t x \\ 0 & 1 & 0 & t y \\ 0 & 0 & 1 & t z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} k x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

c). V: 世界空间→观察空间

• 变换顺序：
  1. 平移
  2. 旋转
  3. Z分量取反（观察空间采用的是右手坐标系，而Unity则是左手坐标系）

$$V=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & t x \\ 0 & 1 & 0 & t y \\ 0 & 0 & 1 & t z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

d). P: 观察空间→裁剪空间

• 不是真正的投影，为投影做准备
• 目的：判断顶点是否在可见范围内
• P矩阵：对x,y,z分量进行缩放，用w分量做范围值。如果x,y,z都在w范围内，那么该点在裁剪空间内。

d.1) 正交矩阵

d.2) 透视矩阵

TODO: 推导各项矩阵

e). 光栅化补充

• 三角形设置：得到图元的边界条件，并对边进行插值；
• 三角形遍历：对单行进行插值